Zašto kamata?

by IsakN

Prečesto čujemo da je kamata nemoralna, loša, pogubna, iluminatska itd. Neki idu toliko daleko da glorificiraju islamsko bankarstvo koje (nije to baš tako, ali…) nema kamatu. Brojni su oni koji bi skroz zabranili kamatu, dok bi ju drugi sveli na neku “reguliranu” brojku (koju bi valjda određivao Slavko Linić, Mate Kapović, Goran Marić ili neki drugi stručnjak).

Većina zna teoriju o vremenskoj vrijednosti novca, oportunitetnom trošku itd itd. međutim ovdje želim izložiti jedan drugačiji pristup da je kamata ne samo opravdana nego i nužna (čak i ako kontroliramo za varijablu monetarnog sustava). Znamo da i socijalisti vole matematiku (jer zvuči pametno), pa evo jedno matematičko “objašnjenje”.

(Disclaimer: iako sam po struci vezan za matematiku ne smatram ni matematiku niti jednu drugu znanost univerzalnom istinom i mislim da svaku tvrdnju (a pogotovo znanstvenu) treba propitivati.)

Francuski matematičar Poisson je u svom djelu Recherches sur la probabilité des jugements en matiére criminelle et en matiére civile (eng. “Research on the Probability of Judgements in Criminal and Civil Matters”) definirao Zakon rijetkih događaja. Iako se to iz naslova ne da zaključiti, djelo se bavi zakonima vjerojatnosti i statistikom. Centralni dio djela je poglavlje gdje se Poisson bavi određivanjem vjerojatnosti da će osoba biti osuđena od strane porote od 12 članova uzimajući u obzir vjerojatnost da pojedini član porote “nije u krivu” i uzimajući u obzir policijsku procjenu o krivnji. Poisson je počeo sa  binomnim modelom, koji je baziran na procesu sa dva potencijalna ishoda (kao što je bacanje novčića ili u ovom slučaju krivnja ili nevinost). Poisson je razmišljao o tome što bi se dogodilo u slučaju da se broj koraka povećava, a istovremeno se vjerojatnost uspjeha značajno smanjuje.

Poisson je došao do formule (Poissonova distribucija) koja nam govori o vjerojatnosti k događaja u n ponavljanja:

slika1

Poissonova distribucija je jedan od osnovnih model u teoriji vjerojatnosti te zajedno sa Binomnom i Normalnom distribucijom izuzetno važna u financijskom modeliranju.

Uzmimo da osoba A (zajmodavac) posuđuje određenu sumu novca osobi B (zajmoprimac). Temeljni rizik zajmodavca je da će zajmoprimac bankrotirati, što se može definirati kao rijedak događaj, te se vjeruje da će ipak u konačnici vratiti posuđeno. Zajmodavac (npr. bankar) procjenjuje zajmoprimca na način da definira lambdu kao broj defaulta na dan (stopa defaulta). Uzima se da zajam traje T dana te je pretpostavka da će zajmodavac dobiti nazad sav svoj novac ukoliko zajmoprimac ne bankrotira u tih T dana te će izgubiti sve (neće dobiti ništa nazad) ukoliko zajmoprimac bankrotira jednom ili više puta u T dana.

Matematički očekivana vrijednost zajma za zajmodavca je:

slika9

Ukoliko primjenimo zakon rijetkih događaja drugi izraz možemo ignorirati jer je 0,  a za prvi izračunamo vjerojatnost da nema defaulta odnosno da je u izrazu (1) k = 0 te je sad očekivana vrijednost:

slika10

tj.

slika3

Što znači da zajmodavac posuđuje iznos L, a očekivana vrijednost koju će dobiti nazad je:

slika4

Kako bi vrijednost zajma bila jednaka očekivanoj vrijednosti koju zajmodavac dobiva natrag, on mora povećati iznos koji zajmoprimac mora vratiti za:

slika5

te je u tom slučaju očekivana vrijednost:

slika6

Iz toga vidimo zašto zajmodavac naplaćuje kamatu u iznosu lambda. Zajmodavac ustvari ne naplaćuje “upotrebu” novca, već izjednačava očekivanu vrijednost (ideja izjendačavanja vrijednosti zajma i očekivane vrijednosti povrata je poznata još iz 13. stoljeća, a Poisson ju samo matematički dokazuje).

P.S. Zanimljivo je spomenuti da je Bernoulli identificirao broj e 1683. godine tako što je proučavao složeno ukamaćivanje. Promatrao je bankovni račun u slučaju da se period ukamaćivanja beskonačno smanjuje (neprekinuto ukamaćivanje). Kroz taj proces riješio je i fundamentalnu diferencijalnu jednadžbu:

slika7

Zanimljivo je kako su broj e, fundamentalna diferencijalna jednadžba te Poissonova distribucija svi potekli iz proučavanja društvenih znanosti, a ne fizikalnih (što će onima koji stalno kritiziraju financije teško pasti). Više o ogromnoj važnosti financija, novca i tržišta za razvoj znanosti u nekim budućim postovima

Oglasi